Matgala

Juguen blanques i fan taules

2012-01-29T09:00:00.000+01:00

El blanc té una torre de menys (d'acord, a canvi d'un peó, però el peó està doblat...). Tot i així, el rei negre està en una mala situació... Tan dolenta, que el blanc aconsegueix fer taules. Com?

Solució del problema anterior:

Primer anem a veure les línies que no funcionen...

Si 1. c5? Rb5 2. Rd4 Rc6 3. Rc4 a5, i són taules.
Si 1. Rd4? Ra3 2. c5 Rxa2 3. c6 b3, i també taules.

La jugada que guanya és la sorprenent 1. Rc2 Ra3. Les alternatives del negre són:

1. ... a5 2. Rb1! b3 3. a3! b2 4. Ra2 i el blanc aconseguirà coronar el peó de c.
1. ... b3+ 2. axb3+ Rb4 3. Rd2 (compte que 3. Rb2 no funciona per a5-a4). Però Rd2 sí que funciona, per 3. ... a5 4. Rd3 Rxb3 5. c5 a4 6. c6 a3 7. c7 a2 8. c8=D a1=D i 9. Db7+ seguit de 10. Da7, guanyant la dama.

2. Rb1 Ra4 3. Rb2 a5 4. Rb1 (està clar que es pot canviar l'ordre d'alguna jugada negra fins arribar aquí) b3 5. a3, i el blanc coronarà el peó de c.

Juguen blanques i guanyen

2012-01-22T09:00:00.000+01:00

Ai, els finals de peons! Ells sempre tan... complicats!

En aquesta posició, juguen les blanques i guanyen.

Solució del problema anterior:

El blanc només pot guanyar amb 1. Tg3!, que impedeix l'ofegat negre, i Tg1+. Aquí el negre s'ha de menjar la torre si no vol rebre mat amb Th3 o Tg1. Així doncs, 1. ... Txg3 2. Rf2+ Rh2 3. Th1+ Rxh1 4. Rxg3, i el final de peons està guanyat:

El peó blanc de d5 pot coronar en 8 jugades (5 de rei i 3 de peó), mentre que el peó negre d'a3 en necessita 10 (8 de rei i 2 de peó). Per tant, el blanc arriba abans, guanyant la partida.

Juguen blanques i guanyen

2012-01-15T09:00:00.000+01:00

Avui toca un d'aquells problemes que et deixen amb la boca oberta, per macos.

El blanc té una torre de més, però si juga Txg2 ofega al negre. Si no mou la torre de la columna g, la perdrà, i si la mou, segueix Tg1+, amb problemes pel blanc, ja que li cau la torre d'a1 i molt segurament el peó d'a2. Així doncs... com guanya el blanc?

Solució del problema anterior:

Aquí cal anar molt amb compte amb la idea del famós final de Reti.

No serveix 1. Rxh3 per 1. ... Rc4 2. Rg3 Rb5 3. Cc7+ Rb4 4. Cd5+ Ra3 5. Cc2 Rb2 6. a4 Rxc3, i ara la posició és la següent:

que permet la maniobra de Reti: 7. a5 Rd4 8. a6 Re3, i taules.

Per tant, ens interessarà arribar a aquesta posició, però amb el rei a g1. Així doncs, la continuació correcta és:

1. Rg3 h2. Si el negre intentés 1. ... Re4 2. Cb4 Re3 3. Cc2+ Re2 4. Cd4+ i 5. Cxf3.

2. Rxh2 Rc4 3. Rg1 (volíem ser a g1) Rb5 4. Cc7+ Rb4 5. Cd5+ Ra3 6. Cc3 Rb2 7. a4 Rxc3, però ara el nostre rei està on ha d'estar i ja no hi ha maniobra de Reti: 8. a5 Rd4 9. a6 Re3 10. Rf1.

Juguen blanques i guanyen

2012-01-08T09:00:00.000+01:00

En aquesta posició juguen blanques i guanyen. Però... compte amb el negre i la idea del final de peons de Reti...

Solució del problema anterior:

1. Rb4. 1. Rd4 porta a les taules per 1. ... Rd6, guanyant l'oposició. Fins i tot, si es volgués guanyar l'oposició, 2. a3 perderia per 2. ... c5.

1. ... Rc8 2. Rc5 Rb7 3. a3 b4 4. axb4 Ra6

Compte aquí que no l'ofeguem amb 5. Rxc6...

5. b5+ cxb5 6. Rc6, coronant abans que el negre.

Juguen blanques i... feliços Reis!

2012-01-06T09:00:00.000+01:00

Ja ho sé, ja ho sé, avui no és diumenge. Però com a regal de Reis, un problemet (ja dels normals).

Espero que els Reis hagin estat bondadosos. Sinó, aquí ve el meu regal:

Juguen blanques i guanyen.

Solució del problema anterior:

Les blanques fan mat amb 1. Dc5.

Si 1. ... Txc5 2. Cd4 mat
Si 1. ... dxc5 2. Te5 mat
Si 1. ... Rxf5 2. Dxd5 mat
Si 1. ... Axe4 2. Cf4 mat
Si 1. ... Txe4 2. Dxd5 mat
Si 1. ... A mou a c6, b7 o a8 2. Cf4 mat
Si 1. ... Ta4 (o Tb4) 2. Dxd5 mat
Si 1. ... Td4 2. Cxd4 mat

Crec que no me n'he deixat cap...

Juguen blanques i... Feliç Any Nou!

2012-01-01T09:00:00.000+01:00

Si la setmana passada les blanques desfeien l'arbre de Nadal per fer mat en 3, aquesta vegada el desfan per fer mat en 2.

Juguen blanques i... Feliç Any 2012!!!

Solució del problema anterior:

El blanc fa mat amb (de veritat vol desfer l'arbre?): 1. Td3+.

Si 1. ... Re5 2. Ag3+
Si 1. ... Dxd3 2. Cf6+ Axf6 3. De6 mat
Si 1. ... Dd4 2. Txd4 Re5 3. Ag3 mat.

Juguen blanques i... Bon Nadal!

2011-12-25T09:00:00.000+01:00

No m'agraden els problemes de mat en *, on la posició es veu que no està treta de cap partida. Però no he pogut resistir la temptació de posar aquest problema.

Juguen blanques i desfan l'arbre de Nadal per aconseguir mat en 3.

Bon Nadal!

Solució del problema anterior:

El blanc aconsegueix guanyar si entra en escac. Per tant, el que ha d'aconseguir és que el rei negre es col.loqui a la última fila o a la diagonal a8-h1. Però no ho pot fer directament, així que ha de perdre un temps per recolzar el peó de d6:

1. Re5 b1=D 2. c6+ Rxc6 3. a8=D+ Db7 (sinó, és mat o perden la dama ràpidament) 4. Dxb7+ Rxb7 5. Re6, i el peó d'e entrarà abans que el d'h, permeten a les blanques menjar-lo i guanyar la partida.

Juguen blanques i guanyen

2011-12-18T09:00:00.000+01:00

Un problema senzill però molt instructiu. Si les blanques juguen 1. a8=D, segueix 1. ... b1=D+, i el negre aconsegueix taules. Però el blanc pot guanyar. Com?

Solució del problema anterior:

El blanc comença amb 1. Aa2+ Rc5 Està clar que el negre no pot jugar 1. ... Re5 per 2. Te6 mat. 2. Ag8 Dh8 Si el negre es menja l'àlfil, el rei blanc està ofegat, i el blanc només ha de fer escac continu amb la torre. 3. Tg6 Dxg8 El negre està obligat a menjar l'àlfil, o perd la dama (i la partida). Ara el rei blanc està ofegat i es pot fer l'escac continu...

El negre intentarà escapar-se de l'escac continu, però no podrà. Per exemple, si intenta refugiar-se al flanc de dama: 4. Tc6+ Rd5 5. Tc5+ Re6 6. Tc6+ Rf7 7. Tc7+ Rg6 8. Tc6+ Rh7 9. Th6+

Juguen blanques i fan taules

2011-12-11T09:00:00.000+01:00

Les blanques tenen torre i àlfil per la dama negra. Sembla que serà difícil per elles sobreviure... però poden aconseguir les taules de forma elegant. Com?

Solució del problema anterior:

La idea està en guanyar les dues peces...

1. Af6+ Rh7 2. Tg7+ Rh6 (està clar que 2. ... Rh8 perd ràpid, per la descoberta 3. Txe7+). 3. Tf7 Rg6 (les altres jugades també perden peça, però aquesta intenta un truc). 4. Tf8 Cc6 5. Axd8 Rg7 (intentant recuperar la peça o entrar en una repetició de jugades). 6. Te8 Rf7 7. Th8 Rg7. Però... 8. Af6+ Rxf6 9. Th6, guanyant el cavall.

Juguen blanques i guanyen

2011-12-04T09:00:00.000+01:00

Aquesta vegada el problema és una mica curiós. Les blanques tenen qualitat de més, però hi ha molt poques peces sobre el tauler i cap peó. Les blanques poden guanyar. Com?

Solució del problema anterior:

La solució del problema es desenvolupa per etapes:

- Primera etapa: mentre s'amenaça guanyar la dama negra, la dama blanca va fent escacs, i aprofita els escacs per menjar-se els peons negres.
- Segona etapa: la dama blanca es torna a acostar al rei negre, amenaçant mats.
- Tercera etapa: finalment el blanc aconsegueix coronar un peó... però no pot coronar el que li dóna la gana, i acaba coronant cavall, per fer mat al cap de poques jugades.

Així doncs, comencem portant la dama a menjar els peons: 1. b6+ Rb7 2. Dd5+ Rb8 3. De5+ Rb8 (està clar que 3. ... Rc8 no perd la dama, però rep mat en una, amb 4. Dc7). 4. De4+ Rb8 5. Df4+ Rb7 6. Dxf3+ Rb8 7. Dg3+ Rb7 8. Dxg2+ Rb8.

Molt bé. Ja ens hem menjat els dos peons negres. Ara la següent etapa consisteix en portar la dama blanca cap a l'altra banda, per coronar un peó o fer mat.

9. Dg3+ Rb7 10. Dc7+ Ra6 11. b7 Df8+. Aquesta és la primera jugada no forçada de les negres (si no vol perdre la dama o rebre mat en 1). Està clar que aquí no es pot menjar el peó, per 12. Da5 mat. Tampoc sembla massa bona idea 11. ... Da7+, per 12. Rf1 i s'han acabat els escacs (i el blanc corona). 11. ... Df8+ és la única que no deixa coronar ràpidament... i que guarda algun joc tàctic... 12. Re2 Dxb4. Aquí el negre ja estava perdut fes el que fes. Aquesta, però, és la resposta que deixa coronar cavall :-P Una altra opció "xul.la" és 12. ... De8+ 13. Rd2 Db5 14. Rc3 De8 15. b5+ Rxb5 (si 15. ... Dxb5 16. b8=C+) 16. b8=D+.

I ja per últim la tercera fase: coronar (no dama) i fer mat.

13. b8=C+. Compte que no es pot jugar 13. b8=D, perquè el rei negre està ofegat i la dama pot aconseguir escac continu. 13. ... Rb5 14. Dc6+ Ra5 15. Da6 mat.

Juguen blanques i guanyen

2011-11-27T09:00:00.000+01:00

Aquest és un problema "llarg" en jugades, però maco i educatiu. Juguen blanques i guanyen.

Solució del problema anterior:

La idea és intentar coronar un peó, és clar. La solució és 1. c7 Dxa7 Única per evitar c8 a la jugada següent (bé, Db7 i Dc8 també ho eviten, però segueix a8=D).

Seguidament, es tracta de fer que el rei negre s'interposi per desclavar el peó: 2. Te2+ Rd7.

I ara la idea és portar el rei on li puguin fer un doble: 3. Te7+ Rxe7. Està clar que no és bona 3. ... Rc8 4. Te8+ Rc7 5. Te7+, amb el final de rei i peó contra rei guanyat.

4. c8=C+ Re6+ 5. Cxa7 Rd5 6. Cb5, i el blanc aconsegueix recolzar el peó. Per exemple, 6. ... Rc5 7. d4+ Rxb5 8. Rf6 Rc6 9. Re6.

Juguen blanques i guanyen

2011-11-20T09:00:00.000+01:00

Malgrat que les negres tinguin una dama i les blanques "només" una torre, els 3 peons blancs són tan forts... que poden guanyar. Com?

Solució del problema anterior:

El blanc té un peó de més, però haurà de suar una mica per guanyar. Per començar 1. c6, aprofitant que el negre no pot jugar 1. ... Cc5+ per 2. Rc4 b6 3. Td5, amenaçant Txc5, i el negre no té massa res de bo.

Així que el negre s'ha de defensar amb 1. ... bxc6, i ara és quan el blanc mostra les seves cartes: 2. b6 Tb7. En cas de jugar 2. ... Td7+ encara és pitjor per 3. Rc3 Txd2 4. Rxd2 Cd8 5. Rc3, i el rei blanc acabarà arribant a c7.

3. Ab3. Cal dir que aquí no es pot jugar 3. ... Txb6 per 4. Rc2, obligant el negre a entregar la torre i quedant-se amb un final perdut. Així doncs, el cavall ha de marxar. L'únic lloc que sembla bo és 3. ... Cc5+ (ja que sinó segueix Rc2 igualment). 4. Rc2 El blanc la fa igualment, però ara sembla que el negre es pot salvar menjant el cavall... 4. ... Cxb3.

I ara el blanc guanya, però no menjant-se el cavall! 5. Td8 Cc1. És gairebé la única jugada que salva el mat amb la torre a a8. 5. ... Cd4+ no serveix, ja que segueix 6. Txd4 i el blanc segueix amenaçant mat, ara a a4.

6. Rxc1. I ara el blanc anirà amenaçant mat a la última fila, mentre el negre anirà intentant escapar-se del mat. Si el rei negre intentés en algun moment baixar, el blanc o acabaria passant la torre per la columna b, darrere del peó, amb el rei negre molt lluny, o el rei blanc acabaria arribant a menjar el peó de c. Per tant, la única opció que té és anar pujant: 6. ... Ra2 7. Rc2 Ra3 8. Rc3 Ra4 9. Rc4 Ra5 10. Rc5

El negre no pot pujar més, i la única cosa que sembla tenir sentit per no perdre ràpid és 10. ... Txb6. Però aleshores segueix: 11. Ta8+ Ta6 12. Tb8. Ara el negre només té dues opcions: o bé jugar 12. ... Ta7, permetent 13. Tb1, i el mat és inevitable. O bé 12. ... Ra4 i aleshores perd la torre mitjançant 13. Tb1 Ta5+ 14. Rc4 Ra3 15. Ta1+

Juguen blanques i guanyen

2011-11-13T09:00:00.000+01:00

Les blanques tenen un peó de més, però guanyar aquest final no és tan fàcil... Com poden fer-ho?

Solució del problema anterior:

El blanc comença entrant el peó: 1. Ta8+ Rxa8 2. h8=D+ Ra7.

En aquests moments, el blanc ha coronat dama, i ara té una peça de més (per dos peons). Però és ara que necessita anar molt amb compte...

El rei blanc està en una mala situació, i depèn del que faci, el negre pot aconseguir escacs continus o fins i tot mats, gràcies als escacs de la dama a d5 o a2, o als escacs amb b6 i c5. Per tant, el blanc no es pot prendre les amenaces a la lleugera, i és aquí que té una continuació, que guanya forçat, sense haver de vigilar amb els escacs continus.

3. Db8+ Rxb8 4. d7+ Ra7 (està clar que 4. ... Ra8 és un desastre). Però en aquest moment, jugar 5. d8=D només portaria a la mateixa situació que abans, només que sense el peó d. Per tant, el blanc ha de fer alguna altra cosa, i guanya amb:

5. Ad4+, i les úniques opcions que no porten a mat en 1 pel negre són 5. ... b6+ i 5. ... c5. A 5. ... b6+, segueix 6. Axb6+ Rb7 7. d8=C+, i el final està guanyat (comptant que el blanc sàpiga fer el mat amb àlfil i cavall). Així doncs, 5. ... c5 6. Axc5+ b6, i el blanc acaba fent el doble amb el cavall igualment.

Why work doesn't happen at work

2011-11-11T14:00:00.000+01:00

A vegades et trobes coses interessants als llocs més insospitats (...)

Ahir a anglès ens van passar aquest vídeo. Val la pena!

No cal entendre anglès... En aquest link hi ha la xerrada. Es poden posar subtítols en anglès o en castellà o en un munt d'idiomes més (no, en català no!)

Juguen blanques i guanyen

2011-11-06T09:00:00.000+01:00

Les blanques tenen un peó a punt d'entrar, però... la victòria és tan fàcil com sembla? O el negre té algun as a la màniga?

Solució del problema anterior:

El blanc pot fer taules aprofitant-se de la mala situació del rei negre.

1. g4. Amb aquesta jugada el blanc amenaça Te5-Th5+-g5 mat o Te2-Th2+-Th5 mat, depenent de quin peó avanci el negre. El negre no arriba a temps a coronar un peó i fer escac.

Per tant, el negre ha d'evitar el mat d'alguna manera. La única solució que sembla tenir és entregar l'àlfil: 1. ... Af5 2. g5+ El blanc no se'l menja. Si ho fes, no hi hauria mat i el negre podria coronar més d'un peó.

2. ... Rh5 3. Rxf5 b2 (tant li fa quin sigui el peó que avanci) 3. Te1 Rh4 4. Rf4 Rh3 5. Rf3 Rh2

6. Te2+ Rh3 7. Te1, i taules per repetició. I si 6. ... Rh1 o Rg1, segueix també 7. Te1+ i taules per repetició.

Juguen blanques i fan taules

2011-10-30T09:00:00.000+01:00

En la posició anterior, el blanc té la qualitat, però per 4 peons. A més, el negre té 3 peons a punt de coronar. Tot i així, el rei negre està una mica "atrapat", i el blanc pot aconseguir aprofitar-se'n... i fer taules! Com ho pot fer?

Solució del problema anterior:

El blanc només guanya amb 1. Ab8. La idea principal és menjar-se el peó d'e5 si el negre corona i amenaçar mat amb el cavall a f3. Està clar que, després d'Ab8, si el negre no corona, el blanc jugarà Axe5 i cap peó negre entrarà... Per aquesta raó, la única jugada blanca que guanya és Ab8. Amb qualsevol altra jugada blanca, el negre té la possibilitat de jugar Rg5 abans de coronar, i llavors el rei es pot escapar.

1. ... a1=D 2. Axe5 Dxe5 3. Cd2

El blanc està amenaçant Cf3 mat, i el negre no té massa opcions... Totes passen per tornar la dama, com per exemple: 3...Rg5 4.f4+ Dxf4 5.exf4+ Rxf4 i el blanc guanya el final gràcies al cavall, per exemple 6.c5 bxc5 7.b5! Re5 8.Cc4+ Rd5 9.Cb6+ Rd6 10.h4! a3 11.Cc4+ i 12.Cxa3.

En cas de 3. ... De4+, el blanc no pot jugar 4. Cf3+, per 4. ... Dxf3 5. Rxf3 a3, i el peó d'a entra. Però sí que pot jugar 4. Cxe4 fxe4 5. c5 bxc5 6. b5 a3 7. b6 a2 8. b7 a1=D 9. b8=D

I ara, malgrat que és el torn de les negres i tenen una dama, no poden evitar el mat de cap manera. Si Rg5, el mat arriba amb Df4. Si Df6, el mat arriba amb Dg3. I el negre no pot fer escac enlloc, excepte a f1-g1-h1, però això només retrassa el mat una jugada.

El problema de les maletes (o com empaquetar usant el nombre mínim de maletes)

2011-10-24T09:00:00.000+02:00

Els que algun cop hem agafat un vol de Ryanair (o similar), sabem que és molt important dividir l'equipatge en el mínim nombre de maletes (i que no passi d'un cert pes, o podem pagar una pasta!)

En general, al fer la maleta, el més raonable és anar posant primer les coses "grans", i llavors les petites hi entren com per art de màgia...

Un teorema diu que, si tenim unes quantes coses, amb uns determinats pesos, i cada maleta pot tenir un màxim de pes, l'estratègia d'ordenar tot el que hem de posar dintre les maletes de més pesat a menys, i anar omplint les maletes, des de la primera fins que ens hi càpiga tot, com a molt és un 22% pitjor que l'estratègia òptima (que suposaria provar totes les possibilitats, que per un conjunt de coses mitjà, com ara 20, és impossible de fer en un temps raonable...).

Però aquesta estratègia pot tenir contradiccions, o coses que no s'entenen.

Imaginem-nos que hem d'omplir maletes, que poden pesar un màxim de 524 Kg. Hem d'omplir-les amb 33 coses, que pesen: 442, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 127, 127, 127, 127, 127, 106, 106, 106, 106, 85, 84, 46, 37, 37, 12, 12 12, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 9.

Anem omplint maletes, començant pel 442:

Maleta 1: 442 (falten 82)

Els següents 7 bultos, de 252 pesos, no es poden posar a la primera maleta. Però sí que es poden posar en parelles de 2 bultos per maleta. Per tant, hem d'omplir 4 maletes més:

Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252 (272)

Seguim posant pesos. Els 5 de 127 només cabran a partir de la cinquena maleta:

Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127 (143)

Anem a posar ara els pesos de 106:

Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106 (206)

Col.loquem els 85, 84, 46, 37 i 37 per ordre, i sempre a la primera maleta on hi caben:

Maleta 1: 442, 46 (36)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)

Tres bultos de 12 Kg:

Maleta 1: 442, 46, 12, 12, 12 (0)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)

Sis bultos de 10 Kg:

Maleta 1: 442, 46, 12, 12, 12 (0)
Maleta 2: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 3: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 4: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)

I per últim, els dos bultos de 9 Kg:

Maleta 1: 442, 46, 12, 12, 12 (0)
Maleta 2: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 3: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 4: 252, 252, 10, 10 (0)
Maleta 5: 252, 127, 127, 9, 9 (0)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 37 (0)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 37 (0)

Sembla que ens n'hem sortit bastant bé, veritat? 7 maletes, i totes al límit de pes!

Però, just abans de fer els paquets amb les maletes, ens adonem que no necessitem el bulto de 46 Kg. Així que tornem a fer el mateix, però prescindint del bulto de 46 Kg.

Un cop havíem posat els pesos de 106 teníem la següent distribució:

Maleta 1: 442 (82)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106 (206)

Ara només hem d'acabar d'omplir amb: 85, 84, 37, 37, 12, 12 12, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 9, 9. Comencem amb els 85, 84, 37, 37:

Maleta 1: 442, 37, 37 (8)
Maleta 2: 252, 252 (20)
Maleta 3: 252, 252 (20)
Maleta 4: 252, 252 (20)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84 (37)

Ara anem per les de 12:

Maleta 1: 442, 37, 37 (8)
Maleta 2: 252, 252, 12 (8)
Maleta 3: 252, 252, 12 (8)
Maleta 4: 252, 252, 12 (8)
Maleta 5: 252, 127, 127 (18)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106 (37)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84 (37)

Les de 10...:

Maleta 1: 442, 37, 37 (8)
Maleta 2: 252, 252, 12 (8)
Maleta 3: 252, 252, 12 (8)
Maleta 4: 252, 252, 12 (8)
Maleta 5: 252, 127, 127, 10 (8)
Maleta 6: 127, 127, 127, 106, 10, 10, 10 (7)
Maleta 7: 106, 106, 106, 85, 84, 10, 10 (17)

I ara ens falten dos bultos de 9 Kg. Però quin desastre! A les 5 primeres maletes només tenim lloc per 8 Kg. A la sisena, per 7. I a la setena, només hi podem posar un dels dos bultos de 9 Kg que tenim.

Per tant... necessitem una vuitena maleta, que anirà només amb un bulto de 9 Kg!!!

O sigui: si afegim el bulto de 46 Kg, necessitem 7 maletes, i si el traiem... en necessitem 8!

Juguen blanques i guanyen

2011-10-23T09:00:00.000+02:00

El blanc té dues peces per dos peons, però el negre té un peó molt perillós a a2, que sembla impossible de parar. Malgrat tot, el blanc aconsegueix imposar-se.

Solució del problema anterior:

La idea del blanc és entrar el peó d'h. Per tant, la primera jugada és 1. g6. El negre està gairebé obligat a menjar (sinó segueix g7 i no hi ha qui pari el peó! I si mou l'àlfil, primer Ab8, i llavors g7, com a la línia principal).

1. ... hxg6 2. h7 Af6 I ara 3. Ab8. Qui ens ha dit que el negre ja ha mogut rei o torre? I si encara pot enrocar llarg? Llavors es salvaria, perquè podria parar el peó amb la torre!

3. ... Txb8 4. Rxf6 Rd8 5. h8=D Rc7 6. Dh2+, i el negre perd la torre, ja que si 6. ... Rc8 7. Dh7 Tb6 8. Dd7+ Rb8 9. Dd8+ Ra7 10. Dc7+, i la torre es perd igualment.

Juguen blanques i guanyen

2011-10-16T09:00:00.000+02:00

Les blanques tenen una torre de menys, però les peces negres estan molt mal posades. Com pot guanyar el blanc?

Solució del problema anterior:

Les blanques guanyen amb 1. f7.

1. Ab4 no guanya per 1. ... Rd3 2. f7 Ad2 o bé 2. Re1 f3 3. gxf3 e2 4. f7 Af4.

1. ... Aa3 2. Ag7 f3

Compte, que aquí no val entrar, perquè guanyaria el negre: 3. f8=D Axf8 4. Axf8 e2+ 5. Rf2 fxg2, i un dels peons negres entra.

3. gxf3 Rd3

Aquí només guanya 4. f8 = A. No serveix 4. f8=D, per 4. ... e2+ 5. Re1 Axf8 6. Axf8 Re3, i el blanc no pot evitar que el rei negre es mengi els dos peons. Si 5. Rf2 Ac5+ i 6. Dxc5 és ofegat! (Si Re1, segueix la mateixa variant que abans).

4. ... e2+ 5. Rf2 e1= D+ 6. Rxe1 Re3 7. f4 Rxf4 8. Rf2, i tant si canvia l'àlfil a f8 com si juga Ac1 Ah6+, el blanc aconsegueix desfer-se de l'àlfil negre. Després es desfarà del peó d'h4, i després el peó entrarà (ja que l'àlfil és del color bo).

Juguen blanques i guanyen

2011-10-09T09:00:00.000+02:00

En la següent posició, juguen blanques i guanyen:

Solució del problema anterior:

El blanc té una gran desavantatge de material, però pot aconseguir les taules...

1. Af6+ exf6 2. f4 Th8+, si el negre intenta anar a buscar els peons de la segona fila, per exemple amb 2. ... Tb8, el blanc juga 3. Rg6, seguit de 4. h6 i el negre ha de tornar amb la torre per fer escac continu, o el blanc coronarà.

3. Rg7 Txh5 4. a4 Tg5+. Està clar que si 4. ... Th6 5. Rxh6 i el rei negre està ofegat(!) I si 4. ... Th8 5. Rxh8 Rh5 6. Rg7 Rh4, i el blanc es menjarà els peons d'f, i acabarà coronant el seu peó d'f4(!) (i guanyarà).

5. Rh8

El rei negre està atrapat, i també ho està la seva torre!

5. ... Rh5 6. Rh7 Tg6, amb aquest ordre o al revés, sembla la única manera de treure la torre i/o el rei, però... 7. Rh8 Th6+ 8. Rg7 Tg6+ 9. Rh8 i el negre no pot progressar. En el moment en què jugui Rh6, ofegarà al blanc.

Juguen blanques i fan taules

2011-10-02T09:00:00.000+02:00

Malgrat la gran desavantatge de material, en la següent posició, el blanc pot aconseguir les taules:

Solució del problema anterior:

1. Ta5. La diferència entre Ta5 i Tc5 es veurà a la jugada 8, en què quedarà palès que Ta5 porta al mat i Tc5 porta a l'ofegat. Tb5 quedarà descartada a la jugada 6...

1. ... Txf3 2. Cf4 Txf4+ 3. Re6 Te4+ 4. Re7 Te7+ 5. Rxe7 e1=D+

El negre ha entrat el seu primer peó... Però tot i així, no pot guanyar (ni tan sols fer taules!).

6. Rf7 Cal notar aquí que si la torre estigués a b5 en comptes d'a5, el negre podria jugar De5, salvant els dos mats, i guanyant la partida.

6. ... De8+ 7. Rxe8 f1=D Segona dama! 8. Rf7

Cal notar aquí que si la torre estigués a c5 en comptes d'a5, aleshores 8. ... Df5 salva els dos mats, i després de 9. Txf5, és ofegat.

Ara el negre intentarà salvar els mats amb la torre a vuitena i la torre a la columna h, però arribarà un moment que no podrà amb els dos.

8. ... Dh1 9. Tb5 Dh2 10. Tc5 Dh3 11. Td5 Ai, el peó d'f6 que fa nosa!

El negre no pot salvar les amenaces de Td8 i Th5 a la vegada.

Juguen blanques i guanyen

2011-09-25T09:00:00.000+02:00

Tornem als finals.

Les blanques tenen una peça de més (per uns quants peons), però el negre té dos peons a punt de coronar.

Com s'ho fan les blanques per guanyar?

Solució del problema anterior:

La partida pertany a un dels desempats de la ronda 4 del World Chess Cup d'aquest any, entre la Judit Polgar (blanques) i en Leinier Dominguez. La Judit ha sacrificat una peça per atac (no era massa clar...), però es troba en aquesta posició, que pot guanyar. Com?

1. Dh6 l'amenaça és 2. Th8+ Axh8 3. Ce7 mat. També amenaça 2. Cxf6. El negre va jugar 1. ... Ad8, que para les dues amenaces principals... però entra en xarxa de mat. Les "millors" opcions que tenia el negre eren "deixar-se" la dama amb Te8 o De5, que permetien 2. Cxf6+ Dxf6 3. Dxf6 Rxh7 4. Dxg5, que els deixa amb peça contra dama...

2. e5, i l'amenaça de mat amb Th8 és massa forta. La partida va continuar 2. ... Tg1+ 3. Rxg1 Dd4+ 4. Rf1, i un cop acabats els escacs del negre, el mat és inevitable.

Bellesa

2011-09-23T14:00:00.000+02:00

The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics... It may be very hard to define mathematical beauty, but that is just as true of beauty of any kind- we may not know quite what we mean by a beautiful poem, but that does not prevent us from recongnizing one when we read it.

G. H. Hardy

Juguen blanques i guanyen

2011-09-11T09:00:00.000+02:00

Anem a partides actuals... Juguen blanques i guanyen:

Solució del problema anterior:

El blanc pot fer un mat molt maco, o com a mínim, molt espectacular:

1. Tb7 Dxb7 (sinó, a part de perdre la dama, el mat encara arriba més ràpid).

2. Axg6+ Rxg6 3. Dg8+ Rxf5 (les altres opcions encara troben el mat més ràpidament: 3. ... Rh5 4. Txh4 mat, o bé 3. ... Dg7 4. Dxg7+ Rxf5 5. Dg4+ Re5 6. Te4+ dxe4 7. Dxe4 mat)

4. Dg4+ Re5 5. Dh5+ Tf5 ( si 5. ... f5 6. Dh8+, seguit de mat).

6. f4+ Axf4 (si 6. ... Cxf4 7. Te4+ dxe4 8. d4 mat)

7. Dxe2+ Axe2 8. Te4+ dxe4 9. d4 mat

Bonic mat, veritat?

Juguen blanques i guanyen

2011-09-04T00:00:00.000+02:00

Torna el setembre, i tornen els problemes. En aquest cas, juguen blanques i guanyen:

Solució del problema anterior:

1. Axb6 Axb6 2. a5 Ad8. 2. ... Ac7 té un resultat semblant, i si l'àlfil surt de la diagonal a5-d8, el blanc guanya fàcil amb c7.

3. b5 axb5 (sinó, després de bxa6, el blanc corona) 4. a6, i l'àlfil negre no pot parar a la vegada els peons d'a i c.

Juguen blanques i guanyen

2011-07-24T09:00:00.006+02:00

Aquesta vegada el problema és bastant més senzill que en anteriors vegades. Juguen blanques, i guanyen (poques jugades, i sense variants rares!)

Solució del problema anterior:

Està clar que 1. Txa2 no serveix per 1. ... Txa2 2. g8=D Th2+, guanyant la dama a la següent.

La solució és 1. g8=D Txg8 2. Rxg8 c2

Ara el rei negre està més a prop dels peons que el rei blanc. Podrà arribar a recolzar-los?

3. Rg7 Re6 4. Rg6 Re5 5. Rg5 Re4 6. Rg4 Re3 7. Rg3 Rd3

Està clar que 7. ... Rd2 simplificava la vida al blanc, que podia jugar 8. Txa2, seguit de 9. Txc2.

8. Rf3 Rc3 9. Re3 Rb2 10. Rd2 Rxa1 11. Rc1... ofegat!

Juguen blanques i fan taules

2011-07-17T09:00:00.007+02:00

A la següent posició, juguen les blanques i fan taules... però potser no és tan senzill com sembla...

Solució del problema anterior:

El blanc té 3 peons a punt d'entrar (o gairebé 4), però si no vigila, el negre li està fent mat per tots cantons. Començant per 1. ... Dxb1, i acabant per 1. Te1 De4+ 2. Txe4 Ta1.

Al blanc no li queda res més que dedicar-se a fer escacs... però els ha de fer bé.

1. d6+ Rxd6. Si el negre no mengés i jugués 1. ... Rd7, aleshores és el blanc qui guanya, amb 2. e8=D+ Txe8 3. Tb7+.

2. Td1+ Rxe7 3. f8=D+ Txf8.

Al blanc ja només li queda un peó per coronar i decideix coronar... cavall!

4. Td7+ Rxd7. El negre podria evitar l'entrada amb doble, però no hi guanyaria res. Per exemple, 4. ... Re8 5. gxf8=D+ Rxd7 6. Dg7+, i ofegat.

5. gxf8=C+ Re7 6. Cxa7 c4

Pot el cavall blanc parar el peó de c?

No, no pot. Però pot fer de les seves...

7. Cc5 c3 8. Cf3 c2 9. Cg1. I ara, si el negre entra dama o torre ofega el blanc. I sinó, el blanc té temps de jugar Ce2, parant el peó...

Juguen blanques... i fan taules!

2011-07-10T09:00:00.004+02:00

Reconec que el problema d'aquesta setmana no és senzill. Però m'ha agradat tant que no he pogut resistir la temptació... Juguen blanques i... fan taules!

Solució del problema anterior:

Per guanyar, el negre primer ha d'acostar el rei: 1. ... Re5 2. Rf7 Rf5 3. Rg7, i ara ha d'anar amb compte, perquè 3. ... Rg4 no serveix per 4. Rh6. Però el que si que serveix és 3. ... h4! 4. gxh4 h5 i el negre es menjarà el peó d'h4 mentre defensa el seu propi peó d'h5. El blanc no pot arribar a temps a f2. Per exemple: 5. Rf7 Rg4 6. Rf6 Rxh4 7. Rf5 Rg3.

Mosques a canonades...

2011-07-04T09:00:00.002+02:00

M'agraden els problemes de MAA MinuteMath. A vegades són molt fàcils, però n'hi ha que fan pensar, com el que va sortir fa uns dies:

Es considera que es tenen 4 cercles com els de la figura:

Un cercle té radi s i és tangent als eixos OX i OY. Un altre (també de radi s) és tangent a l'eix OX i al primer cercle i un tercer (també de radi s) és tangent al primer i a l'eix OY.

El quart cercle té radi r i és tangent als eixos OX i OY, i també és tangent al segon i tercer cercles.

La pregunta és quina és la raó r/s? (Enunciat original)

La resposta es pot trobar matant mosques a canonades. O sigui, l'equació del primer cercle és

$(x-s)^2+(y-s)^2=s^2$.

La del segon,

$(x-3s)^2+(y-s)^2=s^2$,

i la del tercer,

$(x-s)^2+(y-3s)^2=s^2$.

La del gran és:

$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2$.

I anar fent...

Però, com que no pot ser tan difícil, el problema té truc. I és molt més senzill del que semblava... Només cal dibuixar les línies que calen...

Un triangle rectangle. I ja està!

$(r+s)^2 = (r-s)^2 + (r-3s)^2$.

Solució: una equació de segon grau que té dues solucions: r/s=1 (que no té sentit), i r/s=9, que és la solució. Així de fàcil, només posant un parell (o tres) de línies. A veure qui ho resol amb les equacions del principi...

Juguen negres i guanyen

2011-07-03T09:00:00.003+02:00

Juguen negres. Tenen un peó de més, però està doblat, és a la columna de torre, i a sobre no està ni passat. Però... poden guanyar. Com?

Solució del problema anterior:

El negre amenaça mat amb 1. ... g3+, i si 2. Rh3 g4 mat, o si 2. Rh1(g1) Te1 mat. Per tant, el blanc ha d'evitar aquest mat.

No serveix 1. g3, perquè aleshores el negre aconsegueix escac continu: 1. ... Te8 2. d7 Td8 3. Td6 Tf8! 4. d8=D Tf2, amb escac continu o, si el blanc es menja la torre, ofegat.

Així doncs, el blanc ha d'evitar el mat d'alguna altra forma, que eviti aquest escac continu: 1. Td5 (permet escapar-se per h4, ja que el peó de g5 està clavat). 1. ... Te8. Si el negre intentés 1. ... Rh4 per seguir amenaçant mat, n'hi hauria prou amb 2. g3+, i el blanc podria coronar sense patir per l'ofegat. 2. d7 Td8 3. Td6, i ara ja no hi ha ofegat.

Quina forma tenen les interseccions d'ones en un llac?

2011-06-27T09:00:00.000+02:00

Imaginem-nos que estem mirant un llac. No fa vent i l'aigua a la superfície està tranquil.la.

Aleshores llancem una pedra al mig del llac. Es formen unes ones al voltant del lloc on hem llançat la pedra que són circumferències.

Però... què passa si en comptes de llançar una pedra en llancem dues?

Al voltant de la primera pedra hi tindrem ones en forma de circumferència. Al voltant de la segona, també tindrem ones en forma de circumferència. Però... què passarà quan les dues circumferències es trobin? Tindrem alguna figura estranya? O obtindrem alguna cosa "coneguda"?

Què en sabem de les dues ones? La primera cosa que en sabem és que són circumferències, i que per tant, els punts d'una mateixa ona estaran a la mateixa distància del punt on ha caigut la pedra. Però també podem buscar una altra cosa: la velocitat de les ones. Tindria sentit que una ona es desplacés més ràpid que l'altra?

Si suposem que les dues ones es mouen amb la mateixa velocitat, i $r_1$ és la distància al punt on ha caigut la primera pedra i $r_2$ la distància al punt de la segona, obtenim que

$$\frac{dr_1}{dt} = \frac{dr_2}{dt},$$

el que significa que $r_1-r_2$ és una constant.

Però... quina és la corba que compleix que la diferència de distàncies a dos punts és constant?

Doncs precisament la hipèrbola!

Així doncs, fent només la suposició que les dues velocitats de les ones són iguals, obtenim que la intersecció de les ones són hipèrboles.

Juguen blanques i guanyen

2011-06-26T09:00:00.003+02:00

En aquesta posició juguen les blanques. Tenen un peó de menys, i el negre amenaça mat amb 1. ... g3. Però el peó de d6 és fort i poden guanyar... si vigilen de no caure en l'escac continu!

Solució del problema anterior:

1. Cd6+ Rb8

L'opció 1. ... Rc7 està clar que perd per 2. Ce8+, guanyant la dama.

També perd 1. ... Rd8, per 2. h8=D+ Dxh8 3. Cf7+, guanyant la dama (quedant-se amb torre de més).

Per tant, la única opció és anar cap al racó. Però llavors...

2. Tb1+ Ra8 3. Ce8

El blanc amenaça la dama i mat amb Cc7.

3. ... Dg3+ 4. Ra4 Ad4, que atura el peó amb l'àlfil i el mat amb la dama.

Però... Les diagonals de l'àlfil i la dama convergeixen a e5, el que dóna lloc a un tema d'obstrucció:

5. e5. I si ara 5. ... Dxe5 6. h8=D, i la dama no es pot menjar pel mat amb el Cc7. Per tant, només queda 5. ... Axe5 6. Cc7+ Axc7 7. h8=D+ Ab8 8. Dh1+

Enigmàlia

2011-06-06T09:00:00.002+02:00

Fa uns anys, un concurs anomenat Enigmàlia ens va fer pensar.

Ara ens porta una bona notícia: A partir d'aquesta setmana, tornen els Enigmes! N'hi haurà un cada dues o tres setmanes. I segur que són tan recomanables com els de fa 3-4 anys!

Que comenci el joc!

Juguen blanques i guanyen

2011-05-15T09:00:00.001+02:00

Solució del problema anterior:

Tal com deia l'enunciat, el blanc primer ha d'aturar el peó d'a3, i llavors s'ha de preocupar de parar el peó d'h.

El primer que se'ns podria acudir, que seria anar a parar el peó (i menjar-lo) portant el cavall a b3 no funciona per un temps:

1. Ra4 a2 2. Cd2+ Rd5 3. Cb3 h5 4. e6 Rd6 (és important parar el peó, però sense menjar-lo, que donaria al blanc un temps al fer escac amb el cavall) 5. Ra3 h4 6. Rxa2 h3 (si el rei s'hagués menjat el peó, ara el blanc guanyaria un temps amb Cd4+) 7. Cd2 h2 8. Ce4+ Rxe6 9. Cf2 Rf5 10. Rb3 Rf4 11. Rc4 Rf3 12. Ch1 Rg2 13. Rd3 Rxh1, i el negre guanya per un temps, perquè el blanc no pot anar a g2, ofegant el negre.

Per tant, aquest pla no ens serveix i caldrà buscar-ne un altre.

La solució ve mitjançant 1. Cd2+ Rd5 2. Cb1 amenaça el peó d'a3 i juga amb el doble.

Si ara el negre intenta avançar el peó d'h, el blanc arriba sense problemes a parar-lo: 2... h5 3. Cxa3 h4 4. Cc2 h3 5. Ce3+.

El negre pot posar en més compromís al blanc si avança el peó: 2. ... a2 3. Cc3+ Rxe5 4. Cxa2 i ara es tracta de saber si el cavall blanc podrà aturar el peó.

Si ara el negre avancés el peó, permetria que el blanc arribés ràpid al peó, amb Cc3-e2-g1. Per això el negre juga 4. ... Rd4, i el blanc ha de buscar un altre camí.

5. Cb4 h5 6. Cc2+ Re4.

I ara la jugada guanyadora és sorprenent:

7. Ca3. On va aquest cavall? Doncs el seu objectiu és arribar a f1, i com que per e3 no hi pot anar... hi anirà per d2.

7. ... h4 8. Cc4 h3 9. Cd2+ Rf4 10. Cf1, i el negre no pot entrar el peó.

Juguen blanques i fan taules

2011-05-01T09:00:00.008+02:00

El blanc té una peça de més (per un peó), però el negre té un perillós peó a a3, a punt d'entrar... El blanc haurà d'usar el cavall per aturar-lo, però després de fer-ho, com podrà aturar el peó de la columna h?

Solució del problema anterior:

1. a8=D. Si s'hagués jugat 1. axb8=D+ Cxb8 2. Rxb8 Rd3, i el negre aconsegueix les taules d'una forma molt semblant a una variant posterior.

1. ... Cb6+ 2. Rxb8 Cxa8 3. Rb7!

Aquesta és la jugada que fa guanyar la partida. Si 3. Rxa8 b2, i són taules (de la mateixa manera que en el cas següent).

3. ... b2 4. Td1, jugada que guanya.

Si el blanc hagués jugat 4. Tg1, el negre feia taules amb 4. ... Rc5 5. Rxa8 Rd4 6. g5 Re3 7. Tb1 Rd3 8. Tg1 Re3 i repetició de jugades. En aquesta posició final:

el blanc només pot anar amb la torre de b1 a g1, perquè si no fa això, el rei negre es col.larà per f2 o g2, aconseguint la victòria.

Així, si tornem a la posició original després de 4. Td1,

el negre no pot anar a la columna d i perd un temps: 4. ... Rc3 5. Tg1 Rd4 6. g5 Re3 7. Tb1 Rd3

I quina és la diferència d'ara amb el diagrama anterior, on es feien taules? Doncs que el rei blanc està a b7 i no a a8!!!

I pot aprofitar-ho per coronar ell: 8. g6 Rc2 8. g7 Rxb1 9. g8=D

El blanc "només" té una dama per lluitar contra un cavall i dos peons a setena. Però el seu rei no és a a8, i tant si el rei negre es mou a a1 com a c1 (les úniques que semblen oposar resistència), guanya:

9. ... Ra1 10. Dxa8+ Rb1 11. Da7 Rc1 12. Dg1+, i guanya.

9. ... Rc1 10. Dc4+ Rd2 11. Dd4+ Rc2 12. Df2+, i també guanya.

Juguen blanques i guanyen

2011-04-24T09:00:00.007+02:00

Solució del problema anterior

1. Cd3+, i la única manera que té el negre de no perdre la dama a la següent amb Cb2+ és jugar 1. ... Rd5. Però llavors segueix 2. Ag2+, i el negre s'ha de ressignar a anar a una casella on el cavall faci un doble i quedar-se amb peça de menys, o... jugar 2. ... De4, comptant amb què si 3. Axe4 Rxe4.

Però els escacs no són les dames :-D i el blanc no té per què menjar: 3. Cf4+, i el negre, si no vol perdre la dama i quedar-se amb la peça de menys, ha de jugar 3. ... Re5, conservant la possibilitat de menjar a e4 amb el rei. 4. Cg6+ Rd5 (la mateixa situació que a la jugada anterior). 5. Ce7+ Re5 6. Cg6+ Rd5.

I ara ve la jugada guanyadora: 7. Rd7! Ara el negre ha d'escollir entre marxar amb el rei i deixar que el blanc es mengi la dama d'e4 (deixant, com sempre, el blanc amb una peça de més) o jugar 7. ... Dxg2i intentar un últim truc: 8. Cf4+ Re4 9. Cxg2 Rf3

I ara el blanc ha d'escollir entre perdre el cavall i el peó. Si perd el peó, ja no pot guanyar, però...

10. Re6! Rxg2 11. Rxf5 Rf3 12. e4, i el peó acaba coronant.

Juguen blanques i guanyen

2011-04-17T09:00:00.004+02:00

El negre té una dama per dues peces, però és el torn de les blanques i... el rei i la dama negres estan mal col.locats. Com pot guanyar el blanc?

Solució del problema anterior

El negre es pot menjar tranquil.lament la torre d'e1, guanyant la qualitat ja que si 1. ... Axe1 2. Dxh2, el negre guanya la dama (o com a mínim una peça): 2. ... Df1+ 3. Cf2 Axf2 4. Dxf2 e4+, perdent la dama. L'alternativa era 4. Re4, quedant-se amb peça de menys.

Juguen negres i guanyen

2011-04-10T09:00:00.004+02:00

Solució del problema anterior

1. ... Rg3, i el negre només pot evitar el mat amb Te1 si entrega la seva pròpia torre. I, tot i així, el mat arriba en 4 jugades: 2. Txf3+ Txf3 3. Rg1 Tf4 (6,7,8) 4. Rh1 Tf1 mat.

Campionat per equips - 4

2011-04-03T09:00:00.002+02:00

Última ronda, última partida en joc. El negre està guanyadíssim.

(tauler des del punt de vista de les negres)

Però, si estigués apurat de temps i hagués de fet mat ràpid, quina és la forma més ràpida de fer mat?

Solució del problema anterior

1. Cd5, i el negre no té un bon lloc per la dama.

Si 1. ... Da5+ 2. Ad2, i només es retarda una jugada el "desastre".

Si 1. ... Dd8 (o Db8) 2. Cc6 bxc6 3. Axc6+, guanyant com a mínim la qualitat.

Si 1. ... Dd7 2. Cb6

Campionat per equips - 3

2011-03-27T09:00:00.001+02:00

I més de la ronda 6: juguen blanques i aconsegueixen un bon avantatge.

Solució del problema anterior

1. ... Af2+ 2. Rh1 (2. Rh2 és la mateixa, i 2. Rh3 permet 2. ... De3+, fent mat en 4 i no en 5) Th8+ 3. Rg2 f3+ 4. Rxf3 De3+ 5. Rg4 Df4 mat (també valia Dh3, i si 5. Rg2 Dg3 mat).

Campionat per equips - 2

2011-03-20T09:00:00.002+01:00

També de la sisena ronda (tenir totes les planilles ajuda a posar problemes!!!), juguen negres i fan mat en 5.

Solució del problema anterior:

La solució és 1. Cxd5, i el negre no té opcions:

Si 1. ... Dxd5 2. Txb8 Rh7 3. f3

Si 1. ... C d'e4 mou per clavar el cavall, 2. Txb8+ Dxb8 3. Cxe7+

La única opció que pot presentar una mica de lluita és 1. ... Txe5, però segueix 2. Cc7, guanyant o bé la dama, o bé el cavall de b8 (i menjant amb escac!), i llavors cau també el cavall.

Campionat per equips - 1

2011-03-13T09:00:00.002+01:00

Després d'unes quantes rondes del campionat per equips, finalment un clàssic: posicions del campionat per equips. Comencem amb la sisena ronda. Fins aquesta ronda, no havia vist cap posició-problema. El primer, d'una partida meva, bastant senzill. Juguen blanques i guanyen:

Solució del problema anterior

De totes les jugades negres, només n'hi ha una que no perdi:

Si 1. ... Rc3 2. Dd4+ Rb3 3. Da1 i el blanc aconseguirà jugar Dc1, guanyant.

Si 1. ... Re3 2. Dg2 c1=D 3. Dg5+, guanyant la nova dama negra.

Si 1. ... Re2 2. Da2 Rd1 3. Rd4 c1=D 4. Rd3, guanyant la dama o fent mat.

Si 1. ... Rc1 2. Da2 Rd1 3. Rd4 c1=D 4. Rd3

Sorprenentment, la única jugada que no perd és 1. ... Re1. La idea és aconseguir evitar totes les jugades guanyadores anteriors. Per exemple, 2. Da5+ Rd1 3. Da4 Rd2 4. Da2 Rc3 i el blanc no pot impedir que el negre coroni, excepte repetint jugades.

Juguen negres (i fan taules)

2011-02-13T09:00:00.001+01:00

Solució del problema anterior:

1. Cc3

El negre té dues opcions:

1. ... g4 2. Rg7 g3 3. Rf6 g2 4. Ce2 i el cavall para el peó de g, mentre que el rei arriba a parar el peó d'a.

1. ... a5 2. Rg7 i ara el negre ha de jugar amb el peó de g, o el cavall arriba a parar-los tots dos. Però si el negre juga amb el peó de g, el blanc també els para tots dos: 2. ... g4 3. Rf6 g3 4. Re5 a4 5. Rd4 a3 (si a qualsevol moment mou el peó de g, el blanc el para simplement amb Ce2, com abans). 6. Re3, i ara el rei para el peó de g i no el d'a.

Un final a l'estil Reti!

Juguen blanques i fan taules

2011-02-06T09:00:00.002+01:00

Ara feia temps que no posava cap problema (i no gaire res...). Però aquí un problema d'aquells "macos": juguen blanques i fan taules.

Per si de cas: les blanques estan "a baix", i els peons negres coronen "a baix".

(La solució, si ningú la troba primer, en el proper problema. I si algú la troba, també :-D )

Solució del problema anterior:

1. f5+ Rxf5 (si 1. ... Rxf7 2. fxg6+ R (o h)xg6 3. Rxe4, i el final està guanyat) 2. Ch6+ Txh6 (si es juga alguna altra cosa, segueix la mateixa jugada, amb un cavall de més pel blanc) 3. f7 Cg5+ (intentant algun truquet) 4. Axg5 Rxg5 i ara el blanc no pot coronar, per Tf6+. Però té 5. h4+ Rg6 (un últim truquet! Si ara es corona dama, el rei negre queda ofegat) 6. f8 = A, i ara el rei negre ha d'abandonar la seva torre. El blanc acabarà menjant els dos peons negres, i l'àlfil és del color que toca per poder coronar el peó d'h.

Juguen blanques

2011-01-09T09:00:00.001+01:00

En la següent posició, les blanques juguen i guanyen.

(Les solucions, a partir d'ara, es trobaran en el problema següent, tant si algú les ha resolt als comentaris com si no).

Traduccions

2011-01-08T11:27:00.003+01:00

Estic llegint La clau secreta de l'Univers (no és que hagi anat a triar el pitjor enllaç que pugui triar, és que és el de l'editorial...)

Segurament tinc entre 20 i 25 anys més que el públic pel que està pensat el llibre, però m'agrada. I m'agrada molt.

Bé, la part de l'Stephen Hawking i de la filla m'encanta. Per cert, avui l'Stephen fa 70 anys, així que felicitats!!! Però... llegint-lo em poso de mala llet per culpa de la traducció. Fins aquest matí, no hi havia res que no hagués vist en els llibres que llegeixo últimament. Errors que són greus, que no hi haurien de ser, però que quan t'hi acostumes acabes fent la vista grossa (el que passa és que em sembla greu que fins i tot ens acostumem a que hi hagi tants errors de traducció que fins i tot ens semblin normals!)

No sóc de les persones que llegeixin llibres buscant errors, i per això quan els veig, és que són molt evidents. Tot just vaig per la pàgina 68 i recordo que he llegit, per exemple:

"Els tres costats d'un rectangle" ????? Qualsevol nen al jardí d'infància sap que les figures de 3 costats són els triangles, i els rectangles en tenen 4!!!

Més tard, parla d'un professor, a qui els alumnes diuen Gripau. Suposo que han traduit el nom, però... de cop surt un Greeper, que és el professor. No és la traducció literal, però qualsevol persona que s'hagués llegit el llibre (les editorials no tenen algú que es llegeixi els llibres per si hi ha algun error garrafal?) se n'hauria d'adonar, que hi ha un personatge amb un nom diferent delque tenia abans!!!

I això per no parlar de quan parla dels elements, i de cop deixa anar "i el 10% restant", però abans no ha dit que el 90% és hidrogen! Total, no deu ser important, no?

Però fins aquí només hi ha les coses que havia llegit anteriorment, i que recordo (sé que n'hi havia més, però no penso rellegir-me la primera part del llibre per trobar-les).

Però aquest matí... Aquest matí sort que estava ben asseguda quan he llegit:

Abans d'agost de 2006, es deia que hi havia nou planetes que giraven al voltant del Sol: Mercuri, Venus, la Terra, Mart, Júpiter, Saturn, Urani, Neptú i Plutó.

Urani?

URANI????????????????????????????

Si la meva cosina de 7 anys et sap dir el nom dels planetes i ho diu bé!!!

Res, res, això només era un quadre informatiu que està entre les pàgines 67 i 68, on explica coses de Plutó. No n'explica gaires, però entre elles diu:

Com que els altres vuit planetes sí que compleixen els tres requisits, ho continuen sent-ho.

Perdó?

Jo em pensava que si algú cometia tants errors amb coses bàsiques de ciència, seria algú llicenciat en filologia o alguna cosa per l'estil. Em refereixo a que un llibre d'aquest estil el faria traduir a un traductor, a un filòleg o a algun científic. Si hi ha errors en ciència, és que és un dels altres. Però... quina manera és aquesta de fer servir els pronoms febles?

I, ja per acabar, em deixa anar:

Els planetes que giren al voltant del Sol reben el nom d'"exoplanetes".

Mmm... No va entendre el que deia el llibre original? I a sobre no té idea del que és un exoplaneta?

D'acord, tots ens equivoquem (i jo la primera!), però em sembla preocupant que les traduccions siguin cada cop més dolentes i cada cop hi hagi més errors. Però, el que em sembla més preocupant és que, d'alguna manera, ens hi acabem acostumant i ho trobem "normal".

Al cap i a la fi, al comprar la traducció estem pagant també aquesta traducció, i jo cada dia prefereixo més llegir llibres en versió original, perquè llegint les traduccions m'acabo enfadant.

No podrien traduir els llibres gent que sabés una mica del tema? Coi, que és un llibre PER NENS, i d'una banda qualsevol adult hauria de saber prou com per no fer aquest tipus d'errors garrafals. D'altra banda, amb aquestes traduccions, com se'ls pot exigir a les criatures que escriguin bé i que es fixin en el que escriuen, si troben coses d'aquestes als llibres?

Perquè vaja, quan hi ha una partida d'escacs en un llibre, ja sé que hi haurà errors (per què n'hi ha d'haver? No n'hi hauria d'haver, però ja m'he conformat!), però és que se'n troben a qualsevol llibre de qualsevol tema del que hi entenguis una mica (i si no hi entens res, no els deus trobar perquè tot et cola).

Ha patit aquest llibre, perquè aquest matí m'ha posat de mal humor, però... és general. Per què?

1/1/11 11:11

2011-01-01T11:11:00.002+01:00

Feliç any 11, a les 11:11 del dia 1/1...

I, perquè no sigui un post sense res... una propietat del 2011:

Si girem les xifres i en fem el quadrat: $1102^2$, obtenim 1214404.

Si calculem $2011^2$... el resultat és el mateix que l'anterior, girant les xifres: 4044121.

Guanyant un final d'àlfils de diferent color... regalant el propi àlfil!

2010-12-17T14:00:00.004+01:00

En la posició del diagrama següent, el blanc té dos peons de més, però és un final de dames, i a part de ser un final de dames, els àlfils són de diferent color. El que augura una difícil victòria pel blanc, si és que és capaç d'aconseguir-la.

Però el blanc (Aronian) va aconseguir guanyar amb una enginyosa (i molt maca) continuació.

1. Db6+. Com? El blanc es deixa una peça neta?

No, no ho fa. Després de 1. ... Dxb6 (única), 2. Axb6, i el negre no es pot menjar l'àlfil perquè segueix 3. Rh5 i el negre no pot evitar que els peons blancs coronin, encara que intenti lluitar amb 3. ... Ad1+ 4. Rg6 Rb5 5. h7 Ac2+ 6. Rh6 Axh7 7. Rxh7 Rb4 8. g6 Rb3 9. g7 Rxb2 10. g8=D a3 11. Dg2+ i el blanc pot evitar la coronació del negre.

Per tant, el negre no es pot menjar l'àlfil, però... no és això un final d'àlfils de diferent color? No té possibilitats de fer taules?

Doncs no. El negre pot evitar Rh5 jugant 2. ... Ag6.

Sembla que tot estigui al seu lloc, que el blanc hagi de fugir amb l'àlfil, i que el negre aconsegueixi les taules.

Però no.

El blanc tenia reservada una altra sorpresa! 3. Rg4.

Com? El blanc es torna a deixar l'àlfil?

Si el blanc hagués tret l'àlfil, això donava un temps extra al negre, que aconseguia bloquejar l'entrada del rei blanc, i fent servir l'àlfil i el rei per bloquejar les diagonals b1-h7 i a1-h8, eren taules.

Sí, molt bé, però... com pot el blanc guanyar un final de peó i àlfil contra 3 peons, quan sembla que l'àlfil para els dos peons de g i h, i el negre es menjarà el peó de b i coronarà?

Doncs arribant abans que el negre!

3. ... Rxb6 4. Rf4 Rc5 5. Re5 Rb4. El negre no té res a fer al flanc de rei i intenta arribar més ràpid a menjar el peó de b i entrar.

6. Rf6

Al negre només li queden dues opcions: o fugir amb l'àlfil, o anar ràpid a menjar el peó de b.

Menjar el peó de b perd ràpid: 6. ... Rb3 7. Rxg6 Rxb2 8. h7 a3 9. h8=D+, i pot sacrificar la dama pel peó d'a, que encara li quedarà un altre peó per coronar fàcil.

Així doncs, només li queda treure l'àlfil: 6. ... Ae4 7. g6 Rb3 8. h7 Rxb2 9. h8= D a3 10. g7

I totes les opcions són dolentes pel negre:

10. ... Ad5 11. Db8+

10. ... a2 11. g8=D a1=D 12. Rg5+ i el negre ha de perdre la dama i si intenta conservar-la amb 12. ... Rb1, segueix 13. Db3+ .

On és Wally?

2010-12-13T09:00:00.006+01:00

Avui només unes quantes fotos i un vídeo... A partir de finals de setmana torno a la "normalitat", i espero que també a la normalitat blocaire.

Però aquí hi ha unes quantes fotos del London Chess Classic, de la quarta ronda que es va jugar el dissabte 11 de desembre. La pregunta és: On és Wally? :-D

(Ajuda: en Wally surt a totes les fotos i al vídeo!)

Juguen blanques

2010-12-05T09:00:00.000+01:00

El negre està a punt de coronar. El blanc ha d'aconseguir no perdre. Com ho pot fer?

Juguen blanques

2010-11-28T09:00:00.000+01:00

Juguen blanques, que sembla que perden la dama, però... com poden guanyar?

Matrius amb tres 0, tres 1 i tres 2 que tinguin rang màxim

2010-11-15T09:00:00.001+01:00

En els comentaris del post del dia 20 d'octubre, en Gerard em deixava aquest problema:

I, ja que hi som, quantes matrius que facin servir tres cops cadascun dels números {0,1,2} tenen rang màxim? :)

El problema em sembla interessant, però és clar, no en sé la solució... i estic una mica oxidada (que fa molt que no resolc problemes d'aquest estil, vaja!)

Tot i així, com que suposo que en Gerard sap la solució (o sap com trobar-la!) i segurament algú més que es passi per aquí pot trobar-la millor, jo poso la meva proposta... i ja em direu on és l'error (si és que n'hi ha, que suposo que sí, perquè jo em pensava que n'hi hauria menys...)

En un principi, les compto totes. Trobar-les totes seria equivalent a ordenar els tres 0, els tres 1 i els tres 2. Per tant,

$$\frac{9!}{3!3!3!} = 1680. $$

D'aquestes 1680, quines seran de rang màxim?

Calculo quines no tenen rang 3, que em sembla més senzill. En principi, he trobat 3 tipus de matrius que no tinguin rang 3:

Les matrius que tenen 3 zeros en alguna fila o columna
Les matrius que tenen dues files (o columnes) iguals
Les matrius en les que una fila (columna) és el doble d'una altra fila (columna).

Així que anem-los a comptar:

Matrius que tenen 3 zeros en alguna fila o columna:

Si una matriu té 3 zeros en una fila (columna) qualsevol, em queden per fixar els tres 1 i els tres 2, que els posaré en 6 posicions. Per tant, fixant la fila/columna de zeros, tinc en total

$$\frac{6!}{3!3!} = 20 $$ possibilitats.

Com que els zeros poden estar en 3 files o 3 columnes, en total tinc 120 matrius que no tenen rang màxim perquè tenen tota una fila/columna de zeros.

Matrius que tenen dues files (columnes) iguals

En aquest cas, com que dues files (o columnes) han de ser iguals, totes les files (o columnes) han de tenir un 0, un 1 i un 2. Això vol dir que en total tindré 6 casos: 012,021,102,120,210,201.

Fixades les dues files i els nombres que hi ha d'haver a cada fila, només em queden 6 possibilitats més per posar el 0, l'1 i el 2 que em queden. Per tant, en tindré 36 casos (fixant quina fila i columna vull que es repeteixin).

Però... les matrius que tenen les 3 files (columnes) iguals les estic comptant 3 cops! I, a part, ja les havia comptat quan mirava les matrius que tinguessin tota una fila/columna de zeros.

Així doncs, com que tinc 3 maneres diferents de trobar les dues files que vull que siguin iguals, tindré:

3*36-6 = 102, si m'ho miro per files, i 102 si m'ho miro per columnes, en total 204 matrius.

Matrius amb una fila el doble que l'altra:

Serien els casos on tinc una fila amb 110 (o permutació) i una altra amb 220 (o permutació, que sigui la mateixa, és clar!!!)

Puc escollir 3 casos per files (i 3 per columnes), i 110 el puc posar amb 3 ordres diferents.

Altre cop he de restar els casos en què em surti una fila/columna de 0...

En total, torno a tenir 6 possibilitats pels casos que em queden "lliures", però com que ara les files no són iguals (no és el mateix que la primera fila sigui 110 i la segona 220 que al revés), per cada cas de fila/ordre en tindré 12.

Per tant, d'aquest tipus en tinc 12*3*6 = 216.

D'aquí hi he de treure les que tinguin una fila/columna de zeros (que ja les he comptat abans), que serien 2*2*3*6 = 72.

Per tant, d'aquí me'n queden 144.

D'acord, a dalt hi ha tot el rotllo, i el resultat?

Doncs si no m'he equivocat (cosa que seria molt normal, i com que està tan mal explicat no crec que ningú sigui capaç de trobar l'error... però si hi ha una manera més senzilla de calcular-ho estaré contenta de saber-ho...), el total de matrius seria:

Total de matrius: 1680
Matrius amb 000: 120
Matrius amb 2 files/col iguals i no 000: 204
Matrius amb una fila/col el doble d'una altra i no 000: 288

Total de matrius amb rang 3: 1068.

I aquí el meu problema... segons els meus càlculs són el 63.57% de totes les matrius... i jo hagués dit que n'hi hauria moltes menys.

Així doncs: és correcte? On és l'error?

Com aconseguir ternes pitagòries a partir dels nombres de Fibonacci?

2010-11-08T09:00:00.001+01:00

Suposem que $f_n$ són els nombres de Fibonacci: $f_1=1$, $f_2$=1, $f_3=2$, $f_4=3$, $f_5=5$, ...

Donat un nombre natural $k$ qualsevol, construim els següents nombres:

$A = f_k f_{k+3},$
$B = 2 f_{k+1} f_{k+2},$ i
$C = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2.$

Podem veure que $A^2+B^2=C^2$. No és difícil, però portarà un parell de línies de càlculs :-D Per veure-ho, calcularé $A^2+B^2-C^2$ i veuré que és 0:

$A^2 + B^2 - C^2 = $
$f_k^2 f_{k+3}^2 + 2 f_{k+1}^2 f_{k+2}^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 = $
$f_k^2 (f_{k+1} + f_{k+2})^2 - f_{k+1}^4 - f_{k+2}^4 + 2 f_{k+1}^2 (f_k+f_{k+1})^2 =$
$f_k^2 f_{k+1}^2 + f_k^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 - f_{k+1}^4 -(f_k^4 + f_{k+1}^4 + 2 f_k^2 f_{k+1}^2) + 2 f_k^2 f_{k+1}^2 +2 f_{k+1}^4,$

on tots els termes s'anul.len, i per tant és 0.

Així doncs, podem agafar k=1 i obtenim A=3, B= 4, C=5, potser la més famosa de les ternes pitagòriques. Fixem-nos que C=5, que precisament és un nombre de Fibonacci ($f_5$).

Podem agafar $k=2$ i obtenim $A=5$, $B=12$, $C=13$, una altra terna pitagòrica famosa. En aquest cas, 13 és $f_7$.

Per $k=3$, $A=16$, $B=30$ i $C=34$. 34 és $f_9$.

De fet, es pot veure que passa sempre. Fent servir una propietat dels nombres de Fibonacci que diu que:

$f_{2n+k} = f_k f_{n+1}^2 + 2 f_{k-1} f_{n+1} f_n + f_{k-2} f_n^2,$

podem comprovar que, efectivament,

$f_{2k+3} = f_3 f_{k+1}^2 + 2 f_{2} f_{k+1} f_k + f_{1} f_k^2 = $
$2 f_{k+1}^2 + 2 f_{k+1} f_k + f_k^2 =$
$f_{k+1}^2 + (f_k+f_{k+1})^2 = f_{k+1}^2 + f_{k+2}^2 = C.$

Idea: Mario Livio, La proporción áurea.

El falcó i l'espiral logarítmica

2010-10-29T14:00:00.002+02:00

A la espiral logarítmica también se la conoce por el nombre de espiral equiangular. El nombre "equiangular" refleja otra propiedad única de la espiral logarítmica. Si se traza una línea recta desde el polo hacia cualquier punto de la curva, ésta queda cortada exactamente en el mismo ángulo. Los halcones utilizan esta propiedad para atacar a sus presas.

(...)

Tucker descubrió mediante experimentos en túneles de aire que un bamboleo de la cabeza de estas características reduciría considerablemente su velocidad. Los resultados de su investigación, que se publicaron en noviembre de 2000 en el Journal of Experimental Biology, demuestran que los halcones mantienen la cabeza recta mientras trazan una espiral logarítmica. Dadas las propiedades equiangulares de la espiral, dicha trayectoria les permite controlar visualmente a sus presas al tiempo que maximizan la velocidad.

Mario Livio. La proporción áurea.

6 anyets!!!

2010-10-26T00:00:00.001+02:00

Encara recordo el dia, que, asseguda a casa, vaig decidir començar aquest blog. I d'això ja en fa... 6 anys! I aquest cop, com fa 6 anys, el 26 d'octubre torna a ser dimarts!

Durant aquests anys el blog ha anat canviant. Però crec que sempre ha tingut el caràcter que tenia al principi: hi ha coses que m'agraden, que m'agradaria compartir, i les poso aquí, perquè les miri qui vulgui :-D (més que res, per no anar molestant a la gent que m'envolta amb coses que normalment no els interessen...)

Ara ja no faig concursos de problemes, com al principi. De fet, el blog ha anat mutant a... a què?

Quan trobo alguna cosa interessant, l'agafo, l'escric (normalment el cap de setmana), i la poso a publicar el dilluns.
Si el que trobo és una cosa curta, com un tros de llibre, un enllaç, etc, que no em costa gaire temps d'escriure, ho faig entre setmana i la poso a publicar el divendres.
I si el que trobo és un problema més o menys senzill d'escacs, el poso a publicar el proper diumenge o dia de festa.

No sempre hi ha coses a publicar, però a vegades en trobo més tres per setmana, i llavors s'autopubliquen una setmana més tard :-D

Amb això, porto publicats:

575 posts en aquest blog (gairebé surto a 2 per setmana! Pensava que serien menys!!!)
167 posts en el blog de llibres (de veritat he escrit tant sobre llibres?????????)
i no sé quants posts en el blog 64caselles, que qui compartia amb mi els va esborrar tots :-(

No és gaire, però seguiré llegint, i per tant, trobant coses interessants, i per tant... publicant per aquí allò que em sembla interessant a mi...

Filotaxis

2010-10-22T14:00:00.001+02:00

Esta descripción muestra que el enigma de 2300 años de antigüedad acerca de los orígenes de la filotaxis puede resumirse con la siguiente pregunta básica: ¿por qué están separadas por un Ángullo Áureo de 137.5 grados las hojas sucesivas?

(...)

Es fácil de entender. Si el ángulo divergente fuera de, por ejemplo, 120º (es decir, 360/3) o cualquier otro múltiplo racional de 360 grados, entonces las hojas se alinearían radialmente (a lo largo de tres líneas en el caso de 120 grados), dejando grandes espacios entre sí. Por otro lado, un ángulo divergente como el Ángulo Áureo (que es un múltiplo irracional de 360 grados) asegura que los brotes no se alineen a lo largo de ninguna dirección radial específica, rellenando los espacios de forma eficiente. El Ángulo Áureo demuestra ser incluso mejor que otros múltiplos irracionales de 360 grados porque la Proporción Áurea es igual a una fracción continua compuesta enteramente por unos. Esta fracción continua converge de modo más lento que ninguna otra fracción continua. En otras palabras, la Proporción Áurea es el número irracional más difícilmente expresable en forma de fracción.

Mario Livio. La proporción áurea.

20 10 20 10 20 10...

2010-10-20T20:10:00.002+02:00

I més dates maques: avui és 20-10-2010. I són les 20:10. :-D

1/89 y la sucesión de Fibonacci

2010-10-20T09:00:00.000+02:00

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar a la setena edició del Carnaval de matemáticas.

Coge una calculadora y calcula cuánto vale 1/89:

0.0112359550561798.

Los primeros números parecen seguir la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Pero después la cosa parece que se estropea... o no.

Intentemos calcular cuánto valdría la suma:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013

O sea, si $F_n$ es el enésimo número de Fibonacci, queremos calcular cuánto vale
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$

Este número nos dará 1/89. Por qué?

La fórmula general de la sucesión de Fibonacci es bien conocida:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$

que para simplificar la escribo usando el número de oro $\phi$:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$

En este caso, lo que queremos calcular es:

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$

Podemos usar la fórmula general y agrupar los términos:

$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$

Pero estos términos son sumas geométricas, que sabemos sumar.

El primer sumatorio da

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$

Para obtener el resultado, no hace falta hacer cálculos complicados. Simplemente sumar la progresión

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$

sustituir por el valor de $\phi$ y racionalitzar.

De la misma forma, el segundo sumatorio da:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$

Restando los dos sumatorios, se obtiene

$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$

que multiplicado por $\sqrt{5}/50$ nos da el número 1/89!!!

Funte: La proporción áurea. Mario Livio.

1/89 i la successió de Fibonacci

2010-10-18T09:00:00.011+02:00

Agafa una calculadora i calcula quan val 1/89:

0.0112359550561798.

Els primers nombres semblen seguir la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5... Però després la cosa sembla que s'espatlla... o no.

Intentem calcular quant valdria la suma:

0.01
0.001
0.0002
0.00003
0.000005
0.0000008
0.00000013

O sigui, si $F_n$ és l'enèssim nombre de Fibonacci, volem calcular quant val
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}. $$

Aquest nombre ens donarà 1/89. Per què?

La fórmula general de la successió de Fibonacci és ben coneguda:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} ((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n), $$

que per simplificar l'escric usant el nombre d'or $\phi$:

$$F_n = \frac{\sqrt{5}}{5} (\phi^n-(\frac{1}{\phi})^n).$$

El que volem calcular, en aquest cas, és:

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}}.$$

Podem usar la fórmula general i agrupar els termes:

$$ S = \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n} - \frac{\sqrt{5}}{50}\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n}.$$

Però aquests termes no són més que sumes geomètriques, que sabem sumar.

El primer sumatori dóna

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{6+5\sqrt{5}}{89}.$$

No cal fer gaires càlculs complicats, només sumar la progressió

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\phi}{10})^n}} = \frac{\phi/10}{1-\phi/10},$$

substituir pel valor de $\phi$ i racionalitzar.

De la mateixa manera, el segon sumatori dóna:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\phi 10})^n} = \frac{6-5\sqrt{5}}{89}.$$

Restant els dos sumatoris, s'obtè

$$ \frac{10\sqrt{5}}{89},$$

que multiplicat per $\sqrt{5}/50$ ens retorna la màgica xifra d'1/89!!!

Font: La proporción áurea. Mario Livio.

Juguen blanques

2010-10-17T09:00:00.000+02:00

Aquest és un problema d'aquells que, un cop l'has vist, et quedes meravellat per la solució.

Juguen blanques i... guanyen! I sí, el negre està a punt de coronar (o sigui, el blanc és a baix i el negre a dalt).

Una pista (que no sé si ajuda o no...): a la variant més maca, a la penúltima jugada el blanc mou el rei, el negre no té més remei que coronar... i el blanc guanya fent un mat... amb dos cavalls!!!

The year of confusion

2010-10-15T14:00:00.000+02:00

To bring the calendar back in alignment with the vernal equinox, which was supposed to occur by tradition on 25 March, Caesar also ordered two extra intercalary months added to 46 BC - consisting of 33 and 34 days inserted between November and December. Combined with an intercalary month already installed in February, the entire year of 46 BC ended up stretching an extraordinary 445 days. Caesar called it the "ultimus annus confusionis", "the last year of confusion". Everyone else called it simply "the Year of Confusion".

David Ewing Duncan. The Calendar.

101010

2010-10-10T10:10:00.001+02:00

101010 = 42.

Juguen blanques

2010-10-10T09:00:00.000+02:00

Avui que és un dia maco (10/10/10), un problema també maco.

En aquesta posició, malgrat el que pugui semblar, juguen blanques... i guanyen!

Stonehenge

2010-10-08T14:00:00.000+02:00

Egyptians were not alone in their early turning to the sun. Far beyond the great Nile valley and even the Mediterranean, on the distant edge of the Eurasian continent, a little-understood people also figured out a close approximation of the solar year a few centuries after the Egyptians. We know this only because they left behind what appears to be an enormous calendar constructed out of immense slabs of bluestone, standing upright to form megaliths, some of them topped by lintels called henges. Standing on the barren Salisbury plain, this structure, Stonhenge, was used for over two thousand years by ancient Britons, who aligned the stones so that at the precise moment of the summer solstice a ray of sun shines down the main avenue and into its centre. But what was this for? Is Stonhenge truly an enormous calendar? Or is it an observatory, a fortress, a temple, a Bronze Age place of assembly - or all of the above?

No one knows for sure, though the layout leaves no doubt that the people who built it were astronomically sophisticated enough to buiild a device to accurately measure the solar year. Further evidence comes from stones erected in patterns around Stonehenge that align with the sun at both solstices and at the equinoxes, and with the moon as it runs through its orbit around the earth. This giant calendar would have allowed an ancient Briton to anticipate astronomic cycles and events as accurately as the Egyptians watching Sirius - or, for that matter, a modern astronomer using solar and star charts. Some have claimed that Stonehenge can also foretell eclipses of the moon, which occur regularly after those months when the full moon rises precisely down the main avenue.

David Ewing Duncan. The Calendar.

Una torre atrapada?

2010-10-04T09:00:00.002+02:00

En la següent posició, és el torn de les blanques. Tenen una torre a setena, parella d'àlfils, però... la posició del negre sembla molt sòlida, i no sembla possible que es pugui guanyar ràpid, excepte potser si...

1. g6. Òbviament, s'ha de fer alguna cosa amb aquest peó... Està clar que si 1. ... fxg6 2. Txg7+ guanya. Si 1. ... f6 2. h4, que seguirà h5, i el blanc té un joc molt bo. I si 1. ... Ae8 2. gxf7+ Axf7 3. Ah5!

Per tant, al negre només li queda la solució d'intentar atrapar la torre... 1. ... Cxg6 2. Txd7 Ch4+ 3. Rg3 Cxf3 4. Rxf3 Rf8.

La torre està tancada, no? Com pot treure el blanc la torre de la setena fila, sense que s'acosti el rei negre?

Si ara 5. Axf7, el negre pot jugar 5. ... Rxg7 i no tindrà massa problemes en el final... Però el blanc pot jugar 5. h4!, jugant amb el peó passat. 5. ... Re8 (està clar que el negre no pot jugar 5. ... g6 per 6. Af6!)

Però ara ja ningú pot aturar el peó d'h: 6. Axg7 Rxd7 7. h5 i el negre no té solució. Per exemple, 7. ... Ta8 8. h6 Txa3+ 9. Rg4 f5+ 10. Rxf5 Th3 11. Rg6 c6 12. h8 Txh7 13. Rxh7 cxd5 14. Ad4 i el blanc acaba guanyant.

Juguen blanques

2010-10-03T09:00:00.002+02:00

Un problemet senzill pel diumenge. Juguen blanques.

Juguen blanques

2010-09-29T09:00:00.002+02:00

No, jo no faig vaga. Jo avui vaig a treballar. Però si algú fa vaga i s'avorreix... un petit problema.

A la posició del diagrama, juguen blanques. Poden guanyar? En cas de poder, com?

I si encara algú s'avorreix, han quedat problemes pendents de l'estiu...

Com per exemple, el problema del 10 d'agost.

En el problema del 16 d'agost falta una variant important.

El 17 d'agost hi havia un problema una mica llarg, i falta alguna variant.

En el problema del 24 d'agost, si bé el blanc acaba guanyant, hi ha un mat una mica més ràpid, que no deixa amb un final guanyat, però final al cap i a la fi.

I, finalment, el problema del 29 d'agost.

Intuició

2010-09-27T09:00:00.001+02:00

- Vas a decirme que te guías por la psicohistoria?
- No, no voy a mentirte. No he llegado al punto en que la psicohisotira pueda servirme como guía, pero Yugo siempre está hablando de la intuición..., y yo también tengo intuición.
- La intuición! Qué es? Defínela!
- Es muy sencillo. La intuición es un arte, una peculiaridad de la mente humana que le permite obtener la respuesta correcta a partir de datos incompletos o quizá engañosos.
- Y tú has conseguido esa respuesta correcta.
- Sí, la he conseguido - dijo Seldon plenamente convencido.

Hacia la fundación. Isaac Asimov.

Juguen negres

2010-09-26T09:00:00.001+02:00

Un de facilet pel diumenge... juguen negres i fan mat en el mínim nombre de jugades possibles. Quin és el camí?

Quant sumen 10 nombres de Fibonacci consecutius?

2010-09-24T14:00:00.001+02:00

La successió de Fibonacci té un munt de propietats interessants. Però... si ens proposem sumar una successió de nombres consecutius, ho podem fer sense massa esforç?

Per exemple, podem sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Quant dóna? Doncs dóna 143.

Molt bé, i què té d'especial el nombre 143?

Podem sumar, per exemple, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.

I què té d'especial el 605?

Doncs podem agafar i sumar els nombres $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Fent servir que ens trobem en una successió de Fibonacci, i que per tant $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podem arribar a que la suma val $55f_n+88f_{n+1}$. Ja tenim una propietat del 143 i el 605: tots dos són múltiples d'11.

Però... hi ha més?

Doncs sí, hi ha més. Fent unes miques més de càlculs, es pot veure que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.

Per tant, la suma de 10 nombres de Fibonacci consecutius sempre ens donarà el setè nombre de la sucessió multiplicat per 11.

Per exemple, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.

Font: La proporción áurea, de Mario Livio.

Cuánto suman 10 nombres de Fibonacci consecutivos?

2010-09-24T13:59:00.001+02:00

Aquesta entrada és una traducció d'un post en català, traduïda per participar a la sisena edició del Carnaval de matemáticas.

La sucesión de Fibonacci tiene un montón de propiedades interesantes. Pero... si queremos sumar una sucesión de números consecutivos, lo podremos hacer sin mucho esfuerzo?

Por ejemplo, podemos sumar 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55. Cuánto da? Pues da 143.

Muy bien, y qué tiene de especial el número 143?

Podemos sumar, por ejemplo, 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233 = 605.

Y qué tiene de especial el 605?

Pues podemos sumar los números $f_n$, $f_{n+1}$, ..., $f_{n+9}$. Usando que tenemos una sucesión de Fibonacci, y que por lo tanto $f_k = f_{k-1} + f_{k-2}$, podemos llegar a que la suma vale $55f_n+88f_{n+1}$. Ya tenemos una propiedad del 143 i el 605: ambos son múltiples de 11.

Pero... hay más?

Pues sí, hay más. Calculando un poquito más, se puede ver que $5f_n+8f_{n+1} = f_{n+6}$.

Por tanto, la suma de 10 números de Fibonacci consecutivos siempre nos dará el séptimo número de la sucesión multiplicado por 11.

Por ejemplo, 21 + 34 + 55 + 89 + 144 + 233 + 377 + 610 + 987 + 1597 = 377*11 = 4147.

Fuente: La proporción áurea, de Mario Livio.

Velocitats estils

2010-09-20T09:00:00.006+02:00

Feia molt de temps que tenia pendent el post en què mirava si el meu algorisme per les velocitats dels diferents estils convergia o no...

Malauradament, no hi ha hagut suficient temps perquè:

De seguida va venir el juliol i me'n vaig anar de congrés.
Tornant del congrés, va venir l'agost i no vaig anar a nedar cap dia.
I tornant de l'agost, me n'he anat a una altra banda, on hi ha una piscina, però està tan rematadament lluny que només vaig a nedar 1 o 2 dies a la setmana... i a sobre la piscina ha introduit una nova variable al problema: a vegades és de 25 metres, i a vegades és de 50!!!

He deixat de banda els dies que he nedat aquí, però tot i així hi ha un munt de variables que afecten als càlculs:

Hi ha dies en què jo vaig més a poc a poc, per la raó que sigui, i llavors l'estil que faig més aquell dia queda penalitzat.
Hi ha dies en què faig sèries. Si són amb temps, el temps de l'estil és sempre constant, tot i que pugui anar més ràpid. I si són, per exemple, descansant 10 segons, amb unes poques sèries ja em carrego un parell de minuts!
Hi ha dies en què el genoll em fa mal i llavors m'he de frenar.
I, és clar, el que em passa sempre: que em descompto!!! I, és clar, no és el mateix fer 2000 metres que fer-ne 2050, quan estic comptant la velocitat!!!

Tot i així, com que vull donar una mica de vida al blog després de les vacances d'estiu, escric el post pendent, i així m'animo a tornar :-D De qualsevol manera, jo seguiré guardant les distàncies i els temps que hi dedico, juntament amb altres variables, a veure si algun dia arribo a una bona aproximació...

Per començar, una gràfica que mostra que realment, amb dos mesos, no vaig millorar gaire la meva velocitat... A l'eix de les x hi ha la sessió, i a l'eix de les y la velocitat (en minuts per fer 100 metres), que anant bé hauria d'anar-se fent petita...

Fent servir el primer model (simplement iterant) sembla que les coses van tendint al que toca... o, com a mínim, totes les velocitats van millorant... Però no havíem quedat que la velocitat total no millorava? Mmmm... interessant! Tot i així, es veu una tendència, i, el que sembla més important, sembla que si faig crol vaig més ràpid (sembla que té sentit), després ve esquena, després braça (no m'agrada que al final acabin essent iguals) i després papallona... Bé, això s'haurà de millorar...

I si faig servir el segon model? Bé, hi ha més oscil.lacions, però el resultat sembla bastant semblant... Sembla que vaig bé?

Bé, doncs no ho sé... Perquè després del quart dia vaig decidir de resoldre el sistema per trobar les diferents velocitats... i em van sortir les següents velocitats:

crol: -2.40 min/100 metres. Coi, sí que sóc ràpida!!!
papallona: 17.94 min/100 metres. Ai... això són més de 4 minuts per piscina!!!
esquena: 10.99 min/100 metres. També és molt gran...
braça: 0.68 min/100 metres. Guanyaria l'or olímpic!!!

I si començo amb aquestes velocitats, arribaré tendint allà on toca? Bé, doncs la resposta és que... de moment encara no. Aquí hi ha els dos gràfics amb els altres... com es veu, no acaben tendint del tot, però es veu una mica de tendència a "arreglar-ho"...

Seguiré nedant i apuntant, a veure si arribo a alguna conclusió :-D

2010-09-03T14:00:00.002+02:00

¿Cómo podía cualquier número de personas, todas juntas, conocer lo bastante?

A Seldon, todo esto le recordaba una pregunta que le habían planteado de niño: "¿Puede haber una pieza relativamente pequeña de platino, con asas incorporadas, que la fuerza desnuda de un grupo de personas no pueda levantar, por muchas que éstas sean?"

La respuesta era sí. Un metro cúbico de platino pesa 22420 kilos bajo la fuerza normal de gravedad. Si se sabe que cada persona puede levantar 120 kilos del suelo, entences, 188 personas bastarían para levantar el cubo de platino... Pero, 188 personas no se podrían instalar alrededor de él para que cada uno pudeira conseguir asirlo. Quizá no podrían colocarse más de 9 personas. Y las palancas u otros artilugios no estaban autorizados. Tenía que ser la "fuerza desnuda, sin ayudas".

Preludio a la Fundación. Isaac Asimov.

Juguen blanques

2010-08-31T09:00:00.002+02:00

Juguen blanques

2010-08-30T09:00:00.000+02:00

Juguen blanques

2010-08-29T09:00:00.000+02:00

Juguen blanques

2010-08-28T09:00:00.000+02:00

Juguen negres

2010-08-27T09:00:00.000+02:00

Juguen blanques

2010-08-26T09:00:00.000+02:00

Juguen negres

2010-08-25T09:00:00.000+02:00

Juguen blanques

2010-08-24T09:00:00.000+02:00

Juguen negres

2010-08-23T09:00:00.000+02:00

Juguen blanques

2010-08-22T09:00:00.000+02:00

Juguen blanques

2010-08-21T09:00:00.000+02:00

Juguen blanques

2010-08-20T09:00:00.001+02:00

Juguen blanques

2010-08-19T09:00:00.001+02:00

Juguen negres

2010-08-18T09:00:00.001+02:00

Juguen negres

2010-08-17T09:00:00.001+02:00

Juguen blanques

2010-08-16T09:00:00.001+02:00

Juguen negres

2010-08-15T09:00:00.001+02:00

Juguen negres

2010-08-14T09:00:00.001+02:00

Juguen blanques

2010-08-13T09:00:00.001+02:00

Juguen blanques

2010-08-12T09:00:00.002+02:00

Juguen negres

2010-08-11T09:00:00.002+02:00

Juguen blanques

2010-08-10T09:00:00.001+02:00

Juguen blanques

2010-08-09T09:00:00.003+02:00

Juguen blanques

2010-08-08T09:00:00.002+02:00

Juguen blanques

2010-08-07T09:00:00.001+02:00

Juguen negres

2010-08-06T09:00:00.001+02:00

Juguen blanques

2010-08-05T09:00:00.001+02:00